办理娱乐经营许可证的部门是当地的文化和旅游局（原文化局）。根据《娱乐场所管理条例》，娱乐场所的设立必须向所在地县级以上人民政府的文化主管部门提出申请，并提交相关材料，经审核合格后方可获得许可证。
具体流程一般包括：提交申请表、场所平面图、消防安全证明、营业执照复印件、法定代表人身份证明等材料。文化主管部门在收到申请后，会对场所进行实地核查，确认符合相关法律法规要求后，方可发放娱乐经营许可证。
需要注意的是，不同地区可能在具体操作流程和所需材料上略有差异，建议申请人提前咨询当地文化和旅游局，以确保顺利办理。