根据《营业性演出管理条例》的规定，营业性演出许可证的申请和管理由县级以上地方人民政府的文化和旅游主管部门负责。具体来说，申请人应当向所在地的县级或者市级文化和旅游局（或文化局）提出申请。
办理流程一般包括以下步骤：
1. 准备相关材料：如营业执照、法人身份证明、演出场所证明、演出计划等；
2. 向当地文化和旅游局提交申请；
3. 文化和旅游局对申请材料进行审核；
4. 审核通过后，颁发营业性演出许可证。
需要注意的是，不同地区可能会有不同的具体要求和流程，建议申请人提前咨询当地文化和旅游局，以获取最准确的信息。
此外，如果涉及境外演员、团体或大型演出活动，可能还需要向省级或国家级的文化和旅游部门申请审批。
总之，营业性演出许可证的办理部门是各级文化和旅游主管部门，申请人应根据自身情况选择合适的部门进行申请。